Юнир родился в Саранске 1 октября 1981 года. В пятилетнем возрасте вместе с дедом он часто становился зрителем тренировок своего отца и других мотогонщиков на трассе, проходившей недалеко от их дома. Отец давал ему иногда «порулить», просто катал на мотоцикле.

А вообще-то Юнир Базеев – человек, беззаветно влюбленный в спорт. В юности занимался легкой атлетикой, волейболом, баскетболом. Три года посвятил картингу, занимаясь на Республиканской станции юных техников. Но тяга к мотоциклетному спорту взяла свое.

В 15 лет стал заниматься мотокроссом у своего первого тренера Виктора Ивановича Лушникова, собрав по винтикам свой мотоцикл вместе с отцом и тренером.

В 1998 году Базеев получает новую чешскую «Яву», приспособленную для гонок на льду. И с этого же года начинает профессионально заниматься ледовым спидвеем. Перспективного паренька скоро заметили и пригласили в сборную команду Мордовии. Через два года – первое достижение: Базеев становится чемпионом России в командных гонках. Но затем следует травма, которую он долго залечивает. В 2001 году – завоевывает бронзовую медаль в чемпионате России среди юниоров. 2002 год снова приносит бронзу, но рангом выше, в чемпионате Европы. В 2011, он стал золотым призером того же чемпионата Европы.

Самые высокие достижения спортсмена – это серебро на чемпионате мира в личном зачете и чемпионство в командном зачете (2006 год).

С 2002 по 2006 год вместе со сборной командой Мордовии занимал первые, вторые, третьи места в чемпионатах России и других соревнованиях.

Двукратный победитель Приза Главы Республики Мордовии (2005–2006). Долгое время тренировался у Сергея Петровича Шевченко (Уссурийск), регулярно приезжающего в Саранск. Теперь его тренер – Кирилл Олегович Дрогалин.

Юнир Базеев считает, что его победы – это достижения не только его лично, но и тех, кто помогает готовиться ему к соревнованиям. Несомненный вклад в победы Юнира Базеева внес и механик Валерий Скузоватов.